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日期:2013-03-08 22:53:17  來源:本站整理

解析幾何中求參數取值范圍的方法

近幾年來,與解析幾何有關的參數取值范圍的問題經常出現在高考考試中,這類問題不僅涉及知識面廣,綜合性大,應用性強,而且情景新穎,能很好地考查學生的創新能力和潛在的數學素質,是歷年來高考命題的熱點和重點。學生在處理這類問題時,往往抓不住問題關鍵,無法有效地解答,這類問題求解的關鍵在于根據題意,構造相關的不等式,然后求出不等式的解。那么,如何構造不等式呢?本文介紹幾種常見的方法

  一、利用曲線方程中變量的范圍構造不等式

  曲線上的點的坐標往往有一定的變化范圍,如橢圓 x2a2 + y2b2 = 1上的點P(x,y)滿足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用這些范圍來構造不等式求解,另外,也常出現題中有多個變量,變量之間有一定的關系,往往需要將要求的參數去表示已知的變量或建立起適當的不等式,再來求解.這是解決變量取值范圍常見的策略和方法.

  例1 已知橢圓 x2a2 + y2b2 = 1 (a>b>0), A,B是橢圓上的兩點,線段AB的垂直平分線與x軸相交于點P(x0 , 0)

  求證:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a

  分析:先求線段AB的垂直平分線方程,求出x0與A,B橫坐標的關系,再利用橢圓上的點A,B滿足的范圍求解.

  解: 設A,B坐標分別為(x1,y1) ,(x2,y2),(x1≠x2)代入橢圓方程,作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 •x2+x1 y2+y1

  又∵線段AB的垂直平分線方程為

  y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 )

  令y=0得 x0=x1+x22 •a2-b2a2

  又∵A,B是橢圓x2a2 + y2b2 = 1 上的點

  ∴-a≤x1≤a, -a≤x2≤a, x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a

  ∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a

  例2 如圖,已知△OFQ的面積為S,且OF•FQ=1,若 12 < S <2 ,求向量OF與FQ的夾角θ的取值范圍.

  分析:須通過題中條件建立夾角θ與變量S的關系,利用S的范圍解題.

  解: 依題意有

  ∴tanθ=2S

  ∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4

  又∵0≤θ≤π

  ∴π4 <θ< p>

  例3對于拋物線y2=4x上任一點Q,點P(a,0)都滿足|PQ|≥|a|,則a的取值范圍是 ( )

  A a<0 B a≤2 C 0≤a≤2 D 0<2< p>

  分析:直接設Q點坐標,利用題中不等式|PQ|≥|a| 求解.

  解: 設Q( y024 ,y0) 由|PQ| ≥a

  得y02+( y024 -a)2≥a2 即y02(y02+16-8a) ≥0

  ∵y02≥0 ∴(y02+16-8a) ≥0即a≤2+ y028 恒成立

  又∵ y02≥0

  而 2+ y028 最小值為2 ∴a≤2 選( B )

  二、利用判別式構造不等式

  在解析幾何中,直線與曲線之間的位置關系,可以轉化為一元二次方程的解的問題,因此可利用判別式來構造不等式求解.

  例4設拋物線y2 = 8x的準線與x軸交于點Q,若過點Q的直線L與拋物線有公共點,則直線L的斜率取值范圍是 ( )

  A [-12 ,12 ] B [-2,2] C [-1,1] D [-4,4]

  分析:由于直線l與拋物線有公共點,等價于一元二次方程有解,則判別式△≥0

  解:依題意知Q坐標為(-2,0) , 則直線L的方程為y = k(x+2)

  由 得 k2x2+(4k2-8)x+4k2 = 0

  ∵直線L與拋物線有公共點

  ∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故選 (C)

  例5 直線L: y = kx+1與雙曲線C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的兩點A、B,求實數k的取值范圍.

  分析:利用直線方程和雙曲線方程得到x的一元二次方程,由于直線與右支交于不同兩點,則△>0,同時,還需考慮右支上點的橫坐標的取值范圍來建立關于k的不等式.

  解:由 得 (k2-2)x2 +2kx+2 = 0

  ∵直線與雙曲線的右支交于不同兩點,則

  解得 -2<-2< p>

  三、利用點與圓錐曲線的位置關系構造不等式

  曲線把坐標平面分成三個區域,若點P(x0,y0)與曲線方程f(x,y)=0關系:若P在曲線上,則f(x0,y0)=0;若P在曲線內,則f(x0,y0)<0;若P在曲線外,則f(x0,y0)>0;可見,平面內曲線與點均滿足一定的關系。故可用這些關系來構造不等式解題.

  例6已知橢圓2x2 + y2 = a2 (a>0)與連結兩點A(1,2)、B(2,3)的線段沒有公共點,求實數a的取值范圍.

  分析:結合點A,B及橢圓位置,可得當AB兩點同時在橢圓內或同時在橢圓外時符合條件.

  解:依題意可知,當A、B同時在橢圓內或橢圓外時滿足條件。

  當A、B同時在橢圓內,則

  解得a >17

  當A、B同時在橢圓外,則

  解得0<6< p>

  綜上所述,解得0<6 或a>17

  例7若拋物線y2=4mx (m≠0)的焦點在圓(x-2m)2+(y-1)2=4的內部,求實數m的取值范圍.

  分析:由于焦點(m,0)在圓內部,則把(m,0)代入可得.

  解:∵拋物線的焦點F(m,0)在圓的內部,

  ∴(m-2m)2+(0-1)2<4 即m2<3

  又∵m≠0

  ∴-3 <0或0<3< p>

  四、利用三角函數的有界性構造不等式

  曲線的參數方程與三角函數有關,因而可利用把曲線方程轉化為含有三角函數的方程,后利用三角函數的有界性構造不等式求解。

  例8 若橢圓x2+4(y-a)2 = 4與拋物線x2=2y有公共點,

  求實數a的取值范圍.

  分析: 利用橢圓的參數方程及拋物線方程,得到實數a與參數θ的關系,再利用三角函數的有界性確定a的取值情況.

  解:設橢圓的參數方程為 (θ為參數)

  代入x2=2y 得

  4cos2θ= 2(a+sinθ)

  ∴a = 2cos2θ-sinθ=-2(sinθ+ 14 )2+ 178

  又∵-1≤sinθ≤1,∴-1≤a≤178

  例9 已知圓C:x2 +(y-1)2= 1上的點P(m,n),使得不等式m+n+c≥0恒成立,求實數c的取值范圍

  分析:把圓方程變為參數方程,利用三角函數的有界性,確定m+n的取值情況,再確定c的取值范圍.

  解:∵點P在圓上,∴m = cosβ,n = 1+sinβ(β為參數)

  ∵m+n = cosβ+1+sinβ = 2 sin(β+ π4 )+1

  ∴m+n最小值為1-2 ,

  ∴-(m+n)最大值為2 -1

  又∵要使得不等式c≥-(m+n) 恒成立

  ∴c≥2 -1

  五、利用離心率構造不等式

  我們知道,橢圓離心率e∈(0,1),拋物線離心率e = 1,雙曲線離心率e>1,因而可利用這些特點來構造相關不等式求解.

  例10已知雙曲線x2-3y2 = 3的右焦點為F,右準線為L,直線y=kx+3通過以F為焦點,L為相應準線的橢圓中心,求實數k的取值范圍.

  分析:由于橢圓中心不在原點,故先設橢圓中心,再找出橢圓中各量的關系,再利用橢圓離心率0<1,建立相關不等式關系求解.< p>

  解:依題意得F的坐標為(2,0),L:x = 32

  設橢圓中心為(m,0),則 m-2 =c和 m-32 = a2c

  兩式相除得: m-2m-32 = c2a2 = e2

  ∵0<1,∴0<1,解得m>2,

  又∵當橢圓中心(m,0)在直線y=kx+3上,

  ∴0 = km+3 ,即m = - 3k ,

  ∴- 3k >2,解得-32 <0< p>

  上面是處理解析幾何中求參數取值范圍問題的幾種思路和求法,希望通過以上的介紹,能讓同學們了解這類問題的常用求法,并能認真體會、理解掌握,在以后的學習過程中能夠靈活運用。
 

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作者:佚名

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